MT法の一つ、MTA法（マハラノビス・タグチ・アジョイント法）は、逆行列が存在しない場合の逃げテクでもありました。一方、キーワードである「余因子」についての詳しい説明が、市販本では「数学の本を見てね」と、まさに逃げテクで掲載されておりません。
最近、MTA法を使いたいということで、コンサルティングを行った際、最初の質問が「余因子」でした。余因子がキーであるのに、これを理解せずに「使え」と言われても、不安になるのは当然です。
今回は、余因子のさわり部分の説明ですが、このような点を含め、詳しく解説していきます。
1.余因子とは？
ズバリ、行列式の次数を落とす手段です。基本的に行列式は、3次ぐらいまででしたら力ずくで計算できるうえ、2次は必ず、簡単にできます。
たとえば、2次の行列式は、
もし、3次や4次、5次…と高次になっていった場合、一つは手計算では複雑を通り越して「不可能」になります。ところが5次、4次、3次、2次としていけば、簡単です。現在は、この計算工数はパソコンで十分計算可能な話なので、大きな意味はなくなりましたが、昔は効果的な方法でした。
要するに、基本は低次数化です。そのために使うのが余因子です。
次式は「余因子が形式的にどういう仕組みになっているのか」からの説明です。
2次の場合は、頭の係数の縦横を外すと、一個の数値になってしまいますが、一個の数値として考えるのでなく、1行1列の行列式と考えましょう。その延長で、最初が3次なら、2次の行列式に変わります。式１に戻って、
2行2列の行列式の和になった。低次数化している。
これ以降は、aiyの余因子をbiyと書く場合もあります。
要は、3次が2次に。（）は±１になりますが、符号を含めて余因子といいます。
ここまでくれば、2次の展開だから容易なわけです。同様、4次も5次も何次でも最終的には、2次（さらには1次）まで、低次数化できるということです。
次に、もっと大事で、ありがたかったことについて述べます。これも、今はパソコンのおかげで、大きな意味はなくなりましたが「逆行列」の計算です。（逆行列であって、逆行列式という言葉も意味もありません。）また、計算工数の話ではなく、この考え方がMTAと関係してきます（後述することになります）。
まず、逆行列についてです。なお、行列と行列式は全く違います。名前がよく似ていますし、形もそっくりなので余計、混同しますが、行列式は、最後は1個の数値になるので、方向をもたない、スカラー（単なる数値）です。行列は縦、横にベクトルが並んでいますから、1個の数値ではありません。表の中の数字の集合です。
2次から、考えます。今更（さら）ですが、私は行列式は[ ]を、行列は（ ）で表記しています。
とします。
まるで、普通の計算の時と同じことが成立して、
AX=Eが成り立つようなXをAの逆行列と呼びます（普通の計算ではE=１）。
地道に、2次の場合で解いてみましょう。
各成分について計算すると（これも分かっている方が対象）、
もちろん、分母はゼロでないと仮定。さらに、よくみると、この分母は共通で、行列式を使うと、行列Ａをそのまま行列式として、 [A]と同値ですから、
行列Ｘと対応させると、
となります。ｂについては、行列がaの転置（余因子行列という）になっていますので、注意しましょう。品質工学のMTA法の数理説明の本は大抵、転置させていません。ここでは、数学のテキストの表記に従います。なお、MTAでは計算結果は一致しますので、実害はありません。数学の表記の問題です。他の公式との整合を考えると数学上の表記のほう...
ここで、もう一つ注意すべきは、通常の方程式の場合同様、Ａの行列式がゼロでは、Ｘは存在できないので、[A]≠0が逆行列存在の条件で正則行列といいます。
ｎ次の場合にも、以上のことは水平展開できます。また、今後は行列Ａの逆行列をA-1と書くこともあります。
余因子を使うと、低次数化により、逆行列も計算しやすいことを確認してみましょう。
赤字部が余因子の利用箇所です。余因子のおかげで、次数が低くなり、計算しやすくなります。漸次、次数低減していけば、必ず、行列式も逆行列も求められるということです（存在するとして、です）。
今回は、余因子の役割である低次数化を説明いたしました。
次回は、マハラノビス距離とのかかわりについて解説します。