続・現場数学(その20)~速算:暗算計算と九去法

 

♦ 計算を身近なケースから考える

 

1. 電卓よりはるかに速く~ 速算と暗算の活用

 本シリーズのタイトルは「現場数学」といいますが、今回は数字そのものから考えてみましょう。そうはいっても「整数、小数、分数…とは何か」というような純粋数学の話ではありません。

 BMI計算は体重÷身長2。私は身長が173センチメートルなのが幸運で、体重を3で割れば良いのです!(1.732=3)25以上はメタボリックシンドローム。つまり、私は75キログラムを気にしていればよいことになります。私だけが運が良いのか?実は、これが可能なのは、2乗がピッタリな整数の身長141センチの人と2メートルの人だけ?いいえ、そうではありません。25.1になったらメタボとかいう方がおかしいのです。165センチの人でも、体重を3で割れば大体の目安にはなります。165センチで65キロなら65/3~22(定義式で計算すると23.8)。BMIの定義では「肥満」は30以上で「やせている」は17以下ですので、分類上は適正です。電卓で精密に計算してみても仕方ないのです。ちょっと食べ過ぎたら1~2キロは増えますし、個人差も大きいですから。

 今時「計算機で計算すれば問題無い」と決めつけないでください。スマホで計算するにしても、電卓機能を呼び出し、入力…それより、遙(はる)かに速く計算できる場合が沢山あります。

 それでは、408×392はどのように計算しますか?もちろん電卓?いえいえ、これは、400に8を足した数と引いた数のかけ算ですから(400+8)×(400-8)= 4002-82=160,000-64=159936と直(す)ぐ暗算できるのです(現場数学的には、元々3桁の精度なので16万で良い!)。数学の公式はこのような時に役立ちます。

 正方形の面積計算もよく出てきますが、9×9より大きい数の2乗を覚えておくとよいです。11×11=121や13×13=169はよく出てきます。では「16×16は忘れてしまった」という場合はどうしますか?大丈夫です。6×6=36(九九で覚えている)に22を一桁(けた)上げた220を足して256です。

 何をしたといいますと、6に10を掛ける部分と160を足したのです。「この類いはまれである!」と考えますよね?しかし、速算は基本的に有効な範囲が広いのです。例えば840÷12÷7はどうしますか?これは先に12×7=84を暗算で計算すれば、簡単に10と分かります。もちろん、850には適用できません。しかし、2回の割り算は止め、先に12×7=84を暗算でやっておいて、電卓で850÷84=10.119…と計算すれば1回で終わるので、時短に加え、入力ミスが減ります。これはやっている人が多いと思いますが、多くの数の足し算では、近くの数を暗算で足しておいてから、電卓に入力します。今時、表計算ソフトを使い、足し算の範囲を指定するだけであっという間に計算完了、なのですが、暗算をする意義として、桁数の把握とか、概算で幾らくらいかという感覚を忘れない様にすると、仕事のミスを減らせます。

2. 九去法で検算をカンタンに

 このように計算が終わった後で検算をしますが、もう1度同じ事を繰り返し確認するしかないのでしょうか?ほぼ間違ってないのに、順序を変えたりしてみても同じ労力を掛けるのはもったいない。この時、活躍するのが九去法です。この検算方法は古代ローマや和算でも知られていました。足し算の例題を一つ挙げます。

 277 ⇒  7
 196 ⇒  7
+543 ⇒ +3
 1116            0

 277+196+543=1116(間違った結果)の検算をする場合です。各数値の桁ごとの数を足して9となる数を取り除き、残った数を右側に書いていきます(実際にやることは、1行目(277)では2+7=9なので、2と7を取り除きます)。これを全ての数に実施します。そして右側にできた上から3つの数字の足し算結果17にも同じ操作(1+7)を行うと1+7=8となり、数字根は0にはならないことが分かります。このように計算することで、結果の1116(1+1+1+6=9)の数字根「9」と等しくならないため、計算が間違いであったことが分かります(正しくは1016で、この全ての桁を足せば数字根は8となります)。この方法で4則演算全て検算可能というのですから、優れものです!! なぜ上手く行くのかは、文献やWikipediaなどで各自、確認して下さい。

 技術者の皆さんには関係ないのですが、暗算をすると間違ってしまうという人たちや、小学生に2桁のかけ算を教える場合は、以下の様にすると間違いが激減します。

     27
 ×  96
      42
    12  
  63
+18     
  2592

 つまり、全て1桁ごとのかけ算をしておき、後で4個の数字を足すことで、途中の桁上がりの暗算による足し算を止めます。日本人は九九までしか覚えてないので、この技法を適用できますが、インド人は2桁のかけ算まで全て覚えているので不要です。

 割り勘の暗算も大事です。レジに行って「割り勘にしてね」と言って、細かい金額までバラバラに払うとするとお店に嫌われますから、先に計算しておきましょう。この際、全員からお金を集める時にお釣りを渡すのが難しい。現場数学的には、どうすればよいのか?答えは、一緒に飲み食いに行く人達を、幹事が少し得したり損したりすることを容認してくれる仲間にしておくことです。キリの良い数字で集めましょう。現場数学の極意は、数字をいじるだけではないのです。割り勘の場合のキリの良い数、これはオーダーエスティメーション[1]の一種です。居酒屋なら桁は1千円でしょうから「3なのか5なのか」という話になります。逆の話をします。偶数なら2で割り切れます。5なら最後の桁が0か5。3で割り切れるかどうかは全桁の数字を足した数(数字和)が3で割り切れるかどうか、6なら3の条件に偶数、でチェックできます。4なら下2桁、8なら下3桁だけ見ればOKです。さて、ちょっと難しいのが「7で割り切れるか?」です。2桁ずつの数字和を使うのですが、宿題にします。

3. どの数字にも由来や意味がある

 現場数学の数の扱いで本当に重要なのがオーダーエスティメーションです。機械工作の精度限度が1㎛(マイクロメートル)位なことは皆知っていますが、集積回路技術はその千分の1の㎚(ナノメートル)に近づいています。これは驚異的なことです。その1桁下はÅ(オングストローム)、つまり、原子のサイズになってしまうからです。つまり、1㎚での加工というのは、もう原子が見えるレベルなのです。すると、これまでの古典的な連続体としての材料の概念は成り立たなくなります。現在の10㎚レベルの線幅の集積回路では、リーク電流が30%にもなる、というのは古典的な概念での理解です。このサイズになると、電流というよりは量子力学的に電子が銅配線中も流れるし、基板のシリコン中も流れる、というだけの話として理解すべきなのです。集積回路を扱う分野以外ではまだ量子力学の世界は出てきていませんが、量子力学の現場数学が広く使われる時代も遠くはないのです。

 閑話休題。オーダーエスティメーションに戻ります。大きい、小さいという場合、われわれは常に対象物を想定して話します。つまり、家なら200平方メートルは大きいという感じですが、ホテルなら小さい。最初に話したメタボの判定もそうですが、まずは1桁だけで判断しましょう。設計図面を描く時も同様です。最初からきちんと細部まで描こうとすると捗(はかど)りません。長さなら「1メートルなのか10メートルなのか」です。その場合に対応する面積は1平方メートルか100平方メートルかになります。この何乗で増える、という概念も自然に出るように身に付けましょう。さらに、次元解析ができると間違いをなくせます。長さ、面積、体積は簡単ですが、力の場合はN(Newton)が単位です。ニュートンの方程式を思い出すと、f=maです。ma=kgxm/s2なので、これがニュートン単位と分かります。

 数字という意味では、クレジットカード番号などで...

 

♦ 計算を身近なケースから考える

 

1. 電卓よりはるかに速く~ 速算と暗算の活用

 本シリーズのタイトルは「現場数学」といいますが、今回は数字そのものから考えてみましょう。そうはいっても「整数、小数、分数…とは何か」というような純粋数学の話ではありません。

 BMI計算は体重÷身長2。私は身長が173センチメートルなのが幸運で、体重を3で割れば良いのです!(1.732=3)25以上はメタボリックシンドローム。つまり、私は75キログラムを気にしていればよいことになります。私だけが運が良いのか?実は、これが可能なのは、2乗がピッタリな整数の身長141センチの人と2メートルの人だけ?いいえ、そうではありません。25.1になったらメタボとかいう方がおかしいのです。165センチの人でも、体重を3で割れば大体の目安にはなります。165センチで65キロなら65/3~22(定義式で計算すると23.8)。BMIの定義では「肥満」は30以上で「やせている」は17以下ですので、分類上は適正です。電卓で精密に計算してみても仕方ないのです。ちょっと食べ過ぎたら1~2キロは増えますし、個人差も大きいですから。

 今時「計算機で計算すれば問題無い」と決めつけないでください。スマホで計算するにしても、電卓機能を呼び出し、入力…それより、遙(はる)かに速く計算できる場合が沢山あります。

 それでは、408×392はどのように計算しますか?もちろん電卓?いえいえ、これは、400に8を足した数と引いた数のかけ算ですから(400+8)×(400-8)= 4002-82=160,000-64=159936と直(す)ぐ暗算できるのです(現場数学的には、元々3桁の精度なので16万で良い!)。数学の公式はこのような時に役立ちます。

 正方形の面積計算もよく出てきますが、9×9より大きい数の2乗を覚えておくとよいです。11×11=121や13×13=169はよく出てきます。では「16×16は忘れてしまった」という場合はどうしますか?大丈夫です。6×6=36(九九で覚えている)に22を一桁(けた)上げた220を足して256です。

 何をしたといいますと、6に10を掛ける部分と160を足したのです。「この類いはまれである!」と考えますよね?しかし、速算は基本的に有効な範囲が広いのです。例えば840÷12÷7はどうしますか?これは先に12×7=84を暗算で計算すれば、簡単に10と分かります。もちろん、850には適用できません。しかし、2回の割り算は止め、先に12×7=84を暗算でやっておいて、電卓で850÷84=10.119…と計算すれば1回で終わるので、時短に加え、入力ミスが減ります。これはやっている人が多いと思いますが、多くの数の足し算では、近くの数を暗算で足しておいてから、電卓に入力します。今時、表計算ソフトを使い、足し算の範囲を指定するだけであっという間に計算完了、なのですが、暗算をする意義として、桁数の把握とか、概算で幾らくらいかという感覚を忘れない様にすると、仕事のミスを減らせます。

2. 九去法で検算をカンタンに

 このように計算が終わった後で検算をしますが、もう1度同じ事を繰り返し確認するしかないのでしょうか?ほぼ間違ってないのに、順序を変えたりしてみても同じ労力を掛けるのはもったいない。この時、活躍するのが九去法です。この検算方法は古代ローマや和算でも知られていました。足し算の例題を一つ挙げます。

 277 ⇒  7
 196 ⇒  7
+543 ⇒ +3
 1116            0

 277+196+543=1116(間違った結果)の検算をする場合です。各数値の桁ごとの数を足して9となる数を取り除き、残った数を右側に書いていきます(実際にやることは、1行目(277)では2+7=9なので、2と7を取り除きます)。これを全ての数に実施します。そして右側にできた上から3つの数字の足し算結果17にも同じ操作(1+7)を行うと1+7=8となり、数字根は0にはならないことが分かります。このように計算することで、結果の1116(1+1+1+6=9)の数字根「9」と等しくならないため、計算が間違いであったことが分かります(正しくは1016で、この全ての桁を足せば数字根は8となります)。この方法で4則演算全て検算可能というのですから、優れものです!! なぜ上手く行くのかは、文献やWikipediaなどで各自、確認して下さい。

 技術者の皆さんには関係ないのですが、暗算をすると間違ってしまうという人たちや、小学生に2桁のかけ算を教える場合は、以下の様にすると間違いが激減します。

     27
 ×  96
      42
    12  
  63
+18     
  2592

 つまり、全て1桁ごとのかけ算をしておき、後で4個の数字を足すことで、途中の桁上がりの暗算による足し算を止めます。日本人は九九までしか覚えてないので、この技法を適用できますが、インド人は2桁のかけ算まで全て覚えているので不要です。

 割り勘の暗算も大事です。レジに行って「割り勘にしてね」と言って、細かい金額までバラバラに払うとするとお店に嫌われますから、先に計算しておきましょう。この際、全員からお金を集める時にお釣りを渡すのが難しい。現場数学的には、どうすればよいのか?答えは、一緒に飲み食いに行く人達を、幹事が少し得したり損したりすることを容認してくれる仲間にしておくことです。キリの良い数字で集めましょう。現場数学の極意は、数字をいじるだけではないのです。割り勘の場合のキリの良い数、これはオーダーエスティメーション[1]の一種です。居酒屋なら桁は1千円でしょうから「3なのか5なのか」という話になります。逆の話をします。偶数なら2で割り切れます。5なら最後の桁が0か5。3で割り切れるかどうかは全桁の数字を足した数(数字和)が3で割り切れるかどうか、6なら3の条件に偶数、でチェックできます。4なら下2桁、8なら下3桁だけ見ればOKです。さて、ちょっと難しいのが「7で割り切れるか?」です。2桁ずつの数字和を使うのですが、宿題にします。

3. どの数字にも由来や意味がある

 現場数学の数の扱いで本当に重要なのがオーダーエスティメーションです。機械工作の精度限度が1㎛(マイクロメートル)位なことは皆知っていますが、集積回路技術はその千分の1の㎚(ナノメートル)に近づいています。これは驚異的なことです。その1桁下はÅ(オングストローム)、つまり、原子のサイズになってしまうからです。つまり、1㎚での加工というのは、もう原子が見えるレベルなのです。すると、これまでの古典的な連続体としての材料の概念は成り立たなくなります。現在の10㎚レベルの線幅の集積回路では、リーク電流が30%にもなる、というのは古典的な概念での理解です。このサイズになると、電流というよりは量子力学的に電子が銅配線中も流れるし、基板のシリコン中も流れる、というだけの話として理解すべきなのです。集積回路を扱う分野以外ではまだ量子力学の世界は出てきていませんが、量子力学の現場数学が広く使われる時代も遠くはないのです。

 閑話休題。オーダーエスティメーションに戻ります。大きい、小さいという場合、われわれは常に対象物を想定して話します。つまり、家なら200平方メートルは大きいという感じですが、ホテルなら小さい。最初に話したメタボの判定もそうですが、まずは1桁だけで判断しましょう。設計図面を描く時も同様です。最初からきちんと細部まで描こうとすると捗(はかど)りません。長さなら「1メートルなのか10メートルなのか」です。その場合に対応する面積は1平方メートルか100平方メートルかになります。この何乗で増える、という概念も自然に出るように身に付けましょう。さらに、次元解析ができると間違いをなくせます。長さ、面積、体積は簡単ですが、力の場合はN(Newton)が単位です。ニュートンの方程式を思い出すと、f=maです。ma=kgxm/s2なので、これがニュートン単位と分かります。

 数字という意味では、クレジットカード番号などで長い数字をみます。そもそも、クレジットカードの番号はどうやって付けているのでしょうか?実は、ISO/IEC 7812で決められた番号を個人ごとに振り分けているのです。Visaは4980に始まります。MasterCardは5334でJCBは3540。その後は個人番号の11桁です。最後の1文字がチェックディジット[2]なのですが、この数字は、以上の15桁にLuhn Algorithm(ルーンアルゴリズム)[3]という足し算とかけ算からなる演算をして得られる数字です。適当な数字を16個入れても、この最後の数字が違えば受け付けない仕組みになっているのです。こういう具合に、何か数字を見たら「どうしてそういう桁と数字が出てくるのか?」といつも確認する癖を付けましょう。「どの数字にも由来や意味がある」という認識も現場数学では大切です。



参考文献
『コンピュータもびっくり!速算100のテクニック、これでキミも計算名人』中村義作、ブルーバックス

用語解説
[1]オーダーエスティメーション:主に理工学の分野で用いられる、概算値の見積もり。複雑な現象を簡単な物理モデルに置き換え、近似式や既知の情報を元に、有効数字1~2桁程度の概算をすること。
[2]チェックディジット:データなど、数字列の誤りをチェックするために付けられた検査用の数字や記号。
[3]ルーンアルゴリズム:誤入力を検知するアルゴリズム。

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この記事の著者

川添 良幸

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