相関行列の作成方法と利用価値

 相関行列という言葉は、QC7つ道具ではでてきませんが、散布図の説明に相関係数という単語が使われます。散布図は一つの目的変数(y)と一つの説明変数(x)を縦軸、横軸で二次元表現したものです。相関図という単語はないと思っていましたが、信頼性用語では使われているようです。このことばのほうがぴんときます。相関を調べたいときにプロットすることが多く、散らばらすという意味での散布図という言葉は、目的からはそぐわないと感じています。その散布図を多変量にした場合、説明変数と目的変数、目的変数同士の相関係数が計算されます。この計算方法は単相関の場合と同じです。同じ変数同士なら相関係数は1となります。別の変数との相関係数はそれぞれ計算されます。
 
 たとえば、下表1はある特性値(私の趣味の例で、エビが餌に集まってくる時間を目的特性yとし、その時の飼育環境や条件をx1・・・・x7 としています)の連データ(1対1対応)を示しています。
 
表1 エビが餌に集まる時間と飼育環境条件のデータ
   
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 ここから、エビが一番早く餌に到着する条件を見いだそうというものです。実際にはT法や重回帰分析を使いますが、ここでは相関行列の説明のみに絞ります。相関行列は2対の変数で実施すればいいだけですから難しくありませんが、単相関を順番に計算していくと、8個から2個の組合せとして、28通りになります。これはエクセルでも簡単にできます。Excel→データ→データ分析→相関、OKでいけます。相関とあるのは相関行列のことです。下図1を参照してください。
 
         
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図1  相関行列のためのExcel画面
 
 入力範囲をクリックし、実際の連データを選んでOKクリックすれば、表2のような相関行列が表示されます。
表2 相関行列の例
   
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 この表2において右上三角形部分は左下三角形部分と一致しますから、空白となっています。相関行列の作成方法は以上です。この相関行列は数値のみですが、異常値などが入っていると相関が高くなったり、逆に低くなったりしますので注意しましょう。ここではそのチェックは終わったとします。
 
 次に使い道ですが、まず、目的変数と関係の深そうな説明変数がわかります。このことにより、単相関の情報よりも多くの情報を得ることができます。又、説明変数間で相関係数が高いもの、低いものも一目でわかります。重回帰分析やMT法等を使う場合には、多重共線性というくせものに注意しないと、結果が不安定になります。多重共線性は、説明変数間の相関係数が高いときに発生します。とくに相関係数が0.85以上あると要注意です。表2ではx2とx3に出ています。こういうことが起きると、例えば重回帰分析などでは、式の不安定さに加え解釈が煩雑で誤解釈しやすいものです。
 
 たとえば、y=x1x2(式1)であれば、yはx1 と正相関、x2 と負相関と判断しがちですが、x1x2 に高い相関があって、x1=2x2 が成立しているとすれば、y= x2(式2)となりますから、yはx2 と正相関です。重回帰分析といっても、係数の誤差が大きい場合が多く、あまり信用していない人もいると思いますが、正相関か負相関かぐらいは当てにしてフィードバックすると思います。しかし説明変数間に高い相関がある場合には、当てにならないということになります。対策は簡単です。どちらかを外せば済みます。制御しやすい、コストのかからない、管理のしやすい変数を残すわけです。どっこい、どっこいなら目的変数との相関が高い方を残します。
 
 この「相関係数の高いものチェック」は、MT法でも判別分析でも必要です。計算のプロセスに多重共線性を含むものが危ないということです。主成分分析では、数理的に必要がないチェックです。むしろ主成分分析では、変数同士の相関が高い場合の方が向いています。最初から相関の小さいものに主成分分析をする意味はあまりありません。
 
 相関行列の親戚に「分散・共分散行列」があります。マハラノビス距離などを計算するときは答えが一致しますから、MT法や判別分析の時はどちらを使っても構いません。しかし、重回帰分析や主成分分析の時は注意が必要です。この辺の事情については別途説明します。                                       

この記事の著者

村島 繁延

QCDはバランスさせるものではなく、全て両立させるものだという信念で向かいます。一石三鳥を狙った成果を目指します。

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